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LUG 18 2017
Ramanujan: 1729 – spiegazione “nonna Rina”
L’asserzione di Ramanujan può essere scritta: 1729 = a3 + b3 = c3 + d3 < ∀ (a1,…n3 + b1,…n3 = c1,…n3 + d1,…n3). Detto in altri termini: “1729 è il numero più piccolo che si può esprimere come due diverse somme di coppie di differenti numeri naturali, ognuno dei quali elevati al cubo.”   Dimostrazione: innanzitutto si deve dire che se c’è un numero che da solo, elevato al cubo, supera il valore 1729 si può concludere che non c’è alcun numero naturale che sommato a quest’ultimo possa dare, appunto, 1729. Il numero 13 elevato al cubo dà evidentemente un numero più alto: 13 x 10 + 13 x 3 = 169; questo è il quadrato di “13”; per ottenere il cubo si deve eseguire il prodotto 169 x 13. Per noi è sufficiente moltiplicare 169 x 10 (= 1690) e aggiungere il prodotto di un numero, che arrotondiamo a 150, x 3. È evidente che superiamo il 1729. … anche se è semplice eseguirlo a mente segnaliamo che 169 x 13, ovvero il cubo di 13, è uguale a 2197. I numeri che stiamo cercando quindi sono tutti inferiori a 13. Le coppie di numeri che stiamo cercando devono essere anche abbastanza grandi; evidentemente la somma di 1 e 2, elevati al cubo, non danno un numero che si avvicini a 1729. Possiamo notare che la coppia di numeri 7 e 8, elevati al cubo e sommati danno ancora un valore inferiore a 1729: 7 x 7 = 49; 49 x 7 = 7 x 49, ovvero 7 x 50 – 7 = 343. 8 x 8 = 64; dovremmo adesso eseguire il prodotto 64 x 8 … ma anche se arrotondassimo l’8 al 10 e quindi il nostro prodotto diventasse 64 x 10, il risultato 640 sommato al 343 che abbiamo ottenuto per il 7 al cubo darebbe un numero inferiore a 1000 e quindi ben distante dal 1729. … in ogni caso, 64 x 8 = 8 al cubo = 512. Almeno uno dei nostri numeri deve essere maggiore di 8.
  1. Quindi, riassumendo, almeno uno dei numeri (da elevare al cubo) che formano ognuna delle due coppie che stiamo cercando, deve essere compreso tra 9 e 12.
  2. Abbiamo quindi 5 numeri da abbinare ad altri, più piccoli, per verificare quali sono le coppie “corrette”.
  3. Ora, sappiamo che qualsiasi numero elevato al cubo ha, come ultima cifra, il cubo dell’ultima cifra del numero stesso. Ad esempio, 2 e 12 elevati al cubo avranno entrambi come ultima cifra il numero 8 (2 x 2 x 2 = 8 e 12 x 12 x 12 = 1728). Per questo posso elevando al cubo solo l’ultima cifra di un numero posso sapere qual è l’ultima cifra dell’altro numero che dovrò sommare al primo per ottenere una corretta cifra in relazione al mio obiettivo. Ad esempio 11 al cubo avrà come ultima cifra il valore 1. Per arrivare al 9 di 1729 dovrò sommare un numero che abbia come ultima cifra l’8. Solo il numero 2, tra i numeri “a nostra disposizione”, elevato al quadrato dà 8. Per questo la coppia possibile con il numero 11 è 11 al cubo + 2 al cubo. Ma 121 x 11 (11 al cubo) dà un numero inferiore a 1400 e quindi la coppia in questione non è tra quelle corrette.
Vediamo con gli altri numeri a disposizione: 12 al cubo; ultima cifra del suo cubo è 8. La cifra che si può sommare per arrivare al 9 è 1 che è il cubo di 1. A questo punto proviamo. Per sapere quanto vale 12 al cubo procediamo in questo modo:
  1. moltiplichiamo intanto 144 (12 x 10 + 24) per 10 = 1440;
  2. a questa togliamo 40 sommiamo 288 (144 x 2) e ri-aggiungiamo i 40 precedentemente tolti. Otteniamo 1728 … + 1 = 1729. Questa è la prima coppia.
  3. Per l’11, abbiamo già visto. Per il 9 e il 10 scopriamo una particolarità: 9 al cubo vale 81 per 9, ovvero 81 x 10 – 81 = 810 – 80 – 1 = 729. Ci serve un numero la cui ultima cifra sia quindi uno zero dopo che è stato elevato al cubo; l’unico a disposizione è il 10. Abbiamo trovato la seconda coppia: infatti, 10 al cubo = 1000 + 729 = 1729.
  Questa descrizione si presta ad essere utilizzata per spiegare il procedimento, praticamente senza dover necessariamente eseguire conteggi su carta ( si possono fare tutti a mente). Probabilmente Ramanujan ha utilizzato una matrice simile a quella riportata di seguito che ho costruito io. Senza dubbio Ramanujan avrebbe potuto utilizzarla “a mente” ….

 

   

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

   

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

1331

1728

1

1

2

9

28

65

126

217

344

513

730

1001

1332

1729

2

8

9

16

35

72

133

224

351

520

737

1008

1339

1736

3

27

28

35

54

91

152

243

370

539

756

1027

1358

1755

4

64

65

72

91

128

189

280

407

576

793

1064

1395

1792

5

125

126

133

152

189

250

341

468

637

854

1125

1456

1853

6

216

217

224

243

288

413

504

847

1016

1745

2016

3347

3744

7

343

344

352

370

434

559

775

1118

1630

2359

3359

4690

6418

8

512

513

520

539

576

637

728

855

1024

1241

1512

1843

2240

9

729

730

737

756

793

854

945

1072

1241

1458

1729

2060

2457

10

1000

1001

1008

1027

1064

1125

1216

1343

1512

1729

2000

2331

2728

11

1331

1332

1339

1358

1395

1456

1547

1674

1843

2060

2331

2662

3059

12

1728

1729

1736

1755

1792

1853

1944

2071

2240

2457

2728

3059

3456

 

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